Από ανάρτηση του μεγάλου δασκάλου, συγγραφέα Μαθηματικού, κ. Αντώνη Κυριακόπουλου

Σκοπός των Μαθηματικών δεν είναι να βρουν τι είναι αληθές και τι είναι ψευδές στον κόσμο, αλλά να ανακαλύψουν ποιες προτάσεις είναι λογικές συνέπειες άλλων δοσμένων προτάσεων, των αξιωμάτων, αδιαφορώντας αν οι δοσμένες αυτές προτάσεις είναι αληθείς ή όχι. Έτσι, σε μια Μαθηματική Θεωρία, η αλήθεια των προτάσεων που αποδεικνύουμε, δηλαδή των θεωρημάτων, βασίζεται στην αλήθεια των τεθέντων αξιωμάτων. Με άλλα λόγια, η αλήθεια των θεωρημάτων είναι μια σχετική έννοια που εξαρτάται από την αλήθεια των αξιωμάτων. Τελικά τα μαθηματικά δεν μας λένε απόλυτες αλήθειες!!!

  •  Πολλοί άνθρωποι για να εκφράσουν ότι κάτι που λένε δεν γίνεται διαφορετικά, λένε: 2+2=4. Το θεωρούν σαν θέσφατο, σαν απόλυτη αλήθεια. Αυτό όμως δεν είναι αληθές, γιατί ουσιαστικά τα Μαθηματικά δεν λένε: 2+2=4. Αυτό που λένε είναι ότι:
    « Αν δεχθούμε τα αξιώματα των πραγματικών αριθμών, τότε: 2+2=4». Γιατί, αν αλλάξουμε τα αξιώματα των πραγματικών αριθμών τότε μπορεί: 2+2 να κάνει 7!!!. Επίσης, τα μαθηματικά δεν λένε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες. Αυτό που λένε είναι ότι: « Αν δεχθούμε τα αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, τότε το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες ». Γιατί αν δεχθούμε τα αξιώματα του Riemann, τότε το άθροισμα αυτό είναι >180 μοίρες και αν δεχθούμε τα αξιώματα του Lobachevski, είναι < 180 μοίρες.
  •  Στα Μαθηματικά αποδεικνύουμε πάντοτε συνεπαγωγές: «Αν p, τότε q». Ακόμα και αν δεν μας δίνουν υποθέσεις. Τότε υποθέσεις είναι τα αξιώματα. Σε κάθε πρόβλημα των μαθηματικών, δεν μας ενδιαφέρει να μάθουμε αν οι υποθέσεις είναι αληθείς ή όχι. Μπορεί να είναι ψευδείς. Αυτό δεν μας ενοχλεί , γιατί εμείς σε κάθε πρόβλημα δεν ζητάμε να μάθουμε αν οι υποθέσεις είναι αληθείς ή όχι, αλλά με ποιον τρόπο από τις υποθέσεις, εφαρμόζοντας τους νόμους και τους κανόνες της Μαθηματικής Λογικής, θα φθάσουμε στο συμπέρασμα. Αυτό κάνουμε πολλές φορές, ίσως χωρίς να το καταλαβαίνουμε.
    Πράγματι , όταν στην τάξη θέλουμε να λύσουμε μια άσκηση Γεωμετρίας και φτιάχνουμε στον πίνακα με το χέρι έναν κύκλο και προχωρούμε στην λύση, είμαστε βέβαιοι ότι το σχήμα που φτιάξαμε είναι πράγματι κύκλος; Όμοια όταν φτιάχνουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο κτλ. Και όμως κάνουμε σωστά την λύση, γιατί εκείνο που μας ενδιαφέρει είναι αν κάθε συνεπαγωγή: «p συνεπάγεται q» που λέμε είναι σωστή και όχι αν είναι σωστή η p ( αν ο κύκλος που φτιάξαμε είναι πράγματι κύκλος κτλ.). Άλλη είναι η πρόταση p και άλλη είναι η πρόταση : «p συνεπάγεται q».
  •  Τα Μαθηματικά είναι θεωρητική επιστήμη με απροσδόκητες πρακτικές εφαρμογές.
  • Αυτή είναι η φύση των μαθηματικών, ανεξάρτητα πώς τα έχει ο καθένας στο μυαλό του. Τα μαθηματικά θεμελιώνονται, κατανοούνται και αναπτύσσονται με τη βοήθεια της Μαθηματικής Λογικής.

Αντώνης Κυριακόπουλος Αθήνα 4- 2 – 2016