Πηγή: Σωτήρης Χρ. Γκουντουβάς
Η αρχαία ελληνική επιστήμη στο πεδίο των μαθηματικών όχι μόνο έθεσε τις βάσεις, αλλά, χωρίς υπερβολή, έφτασε σε πολύ υψηλά επίπεδα.
Από τον Θαλή και τον Πυθαγόρα, μέχρι τον Ευκλείδη και τον Αρχιμήδη, από τον Εύδοξο και τον Απολλώνιο μέχρι τον Πάππο και την Υπατία, από τον Ερατοσθένη και τον Ήρωνα μέχρι τον Πτολεμαίο και τον Διόφαντο.
Στη Γεωμετρία ειδικά, η αρχαία ελληνική επιστήμη έφτασε σε επίπεδα τελειότητας. Θα αναρωτηθεί κανείς εύλογα:
“Τα είπαν όλα οι αρχαίοι Έλληνες στη Γεωμετρία;”
Η απάντηση είναι βεβαίως : “Όχι, δεν τα είπαν όλα”, ή καλύτερα “ευτυχώς που δεν τα είπαν όλα!”
Τα κανονικά πολύγωνα ξεκίνησαν να τα μελετούν οι Πυθαγόρειοι τον 6ο π.Χ αιώνα, μετά οι Γεωμέτρες της Ακαδημίας του Πλάτωνα και στη συνέχεια ο Ευκλείδης και οι αλεξανδρινοί μαθηματικοί.
Κατασκεύασαν με κανόνα και διαβήτη όλα όσα ήταν κατασκευάσιμα, αλλά τους ξέφυγε το κανονικό δεκαεπτάγωνο και λίγα ακόμη που προκύπτουν από τους (πρώτους) αριθμούς Fermat.
Ουδεμία λοιπόν, αναφορά, σχόλιο, νύξη κλπ για την κατασκευή του κανονικού δεκαεπταγώνου από τους αρχαίους Έλληνες.
Και ενώ είχαν περάσει 2000 και πλέον χρόνια και είχαμε βολευτεί στις κατασκευές των αρχαίων Ελλήνων, ένα 19χρονος Γερμανός, ο Karl Friedrich Gauss, το 1796, αποδεικνύει ότι το κανονικό δεκαεπτάγωνο είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη!!!
Σχολιάζοντας την ανακάλυψή του έγραψε:
“Κάθε αρχάριος στη γεωμετρία γνωρίζει ότι διάφορα κανονικά πολύγωνα μπορούν να κατασκευαστούν με γεωμετρικό τρόπο, και συγκεκριμένα το τρίγωνο, το τετράγωνο, το πεντάγωνο, το δεκαπεντάγωνο και όσα προκύπτουν από αυτά μέσω του επαναλαμβανόμενου διπλασιασμού του αριθμού των πλευρών. Αυτά τα γνώριζαν από την εποχή του Ευκλείδη, και φαίνεται πως είχαν πειστεί από τότε ότι η περιοχή της στοιχειώδους γεωμετρίας δεν μπορούσε να διευρυνθεί… Έτσι μου φαίνεται ακόμη πιο αξιοσημείωτο ότι εκτός από τα συνήθη πολύγωνα υπάρχει ένα σύνολο από άλλα που είναι κατασκευάσιμα με γεωμετρικό τρόπο, π.χ. το δεκαεπτάγωνο”.
Δεν σταματά μόνο σε αυτό, αλλά αποδεικνύει ότι και το κανονικό 257γωνο και το 65537γωνο είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη και όλα όσα προκύπτουν από συνδυασμό αυτών.
Την απόδειξη τη δημοσίευσε το 1801 στο σπουδαίο έργο του Disquisitiones Arithmeticae (Αριθμητικές Έρευνες).
Στο 7ο και τελευταίο κεφάλαιο του έργου του κλείνει με τις παρακάτω 37 τιμές του ν μικρότερες του 300, για τις οποίες τα αντίστοιχα πολύγωνα είναι κατασκευάσιμα:
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272.
Έτσι λοιπόν έκλεισε το θέμα της κατασκευής των κανονικών πολυγώνων μετά από ένα συναρπαστικό γεωμετρικό ταξίδι 2500 χρόνων!
Το κείμενο αντιγράφηκε από ανάρτηση του κ. Σωτήρης Χρ. Γκουντουβά.
Πλήρης διαπραγμάτευση των κανονικών πολυγώνων υπάρχει στο βιβλίο Γεωμετρικές Διαδρομές
Περισσότερα: Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη-To Θεώρημα Gauss (Εργασία του Μαθηματικού Χρήστου Αθανάσιου Μουτζούρη)
