Είχε ο Ευκλείδης δίκιο;

Του Μαθηματικού Θανάση Κοπάδη

Ένας από τους πιο μορφωμένους ανθρώπους που προσέλκυσε η Αλεξάνδρεια γύρω στο 300 π.Χ. ήταν και ο Ευκλείδης, ο οποίος βρέθηκε εκεί για να ιδρύσει μια σχολή μαθηματικών. Ελάχιστα πράγματα γνωρίζουμε για τη ζωή του, φαίνεται όμως να εκπαιδεύτηκε στην Ακαδημία από μαθητές του Πλάτωνα. Αυτό που καθιέρωσε τον Ευκλείδη σαν ένα από τα μεγαλύτερα ονόματα στην ιστορία των μαθηματικών ήταν η συγγραφή των Στοιχείων. Το έργο αυτό άσκησε βαθιά επιρροή στη δυτική σκέψη, αφού διαβαζόταν, αναλυόταν και εκδιδόταν για αιώνες μέχρι και σήμερα. Έχει ειπωθεί ότι από όλα τα βιβλία του δυτικού πολιτισμού μόνο η Βίβλος μελετήθηκε πιο εξονυχιστικά από τα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Τα Στοιχεία είναι μια τεράστια συλλογή 13 βιβλίων και αποτελείται από 465 προτάσεις σχετικά με τη γεωμετρία του επιπέδου, του χώρου, αλλά και τη θεωρία των αριθμών. Η μεγαλοφυία του Ευκλείδη δεν έγκειται τόσο στη δημιουργία νέων μαθηματικών όσο στην παρουσίαση των παλαιών μαθηματικών με έναν απολύτως σαφή, οργανωμένο και λογικό τρόπο, δίνοντας μας έτσι μια θαυμάσια αξιωματική ανάπτυξη του αντικειμένου του.

Στην αρχή των Στοιχείων παραθέτει μερικά βασικά πράγματα: 23 ορισμούς (π.χ. γραμμή είναι κάθε τι που έχει μήκος χωρίς πλάτος), 5 αιτήματα (π.χ το αίτημα 1 που λέει ότι είναι δυνατόν να φέρουμε ευθεία γραμμή από κάθε σημείο προς οποιοδήποτε σημείο) και 5 γενικά αξιώματα (π.χ. μεγέθη που είναι ίσα προς τρίτο μέγεθος είναι και μεταξύ τους ίσα). Αυτά ήταν τα θεμέλια του συστήματός του. Μπορούσε να τα χρησιμοποιήσει όποια στιγμή επιθυμούσε. Από αυτά απέδειξε την πρώτη του πρόταση και στη συνέχεια κατάφερε να αναμείξει τους ορισμούς, τα αιτήματα, τα αξιώματα και την πρώτη του πρόταση ώστε να αποδείξει τη δεύτερη πρόταση . Και συνέχισε με αυτόν τον τρόπο.

Στο πέρασμα της ιστορίας όμως, ένα από τα αιτήματα των Στοιχείων και συγκεκριμένα το 5ο, αποτέλεσε το πιο προβληματικό χαρακτηριστικό του όλου συστήματος.

Το αίτημα 5 λέει ότι: αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ζεύγος γωνιών “εντός και επί τα αυτά” με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε οι ευθείες, αν προεκταθούν επ’ άπειρον, τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Το πρόβλημα δεν ανέκυψε επειδή κάποιος αμφισβήτησε ότι το αίτημα των παραλλήλων έπρεπε να είναι αληθές. Αντιθέτως,υπήρξε παγκόσμια συναίνεση ότι το αίτημα ήταν μια λογική αναγκαιότητα.

Σε τελική ανάλυση, η γεωμετρία ήταν ένας αφηρημένος τρόπος περιγραφής του σύμπαντος και η “φυσική” πραγματικότητα υπαγόρευσε την αλήθεια του αιτήματος αυτού. Αυτό που αμφισβητήθηκε ήταν η ταξινόμησή του στα αιτήματα. Ο κλασικός συγγραφέας Πρόκλος συνόψισε την άποψη αυτή με το παρακάτω σχόλιο: ” Τούτο (το πέμπτο αίτημα) θα έπρεπε να διαγραφεί από τα αιτήματα, διότι πρόκειται για θεώρημα και μπορεί να αποδειχθεί..”.

Αυτή η πεποίθηση δεν προκάλεσε έκπληξη. Ακόμη και ο ίδιος ο Ευκλείδης έμοιαζε να αποφεύγει όσο μπορούσε τη χρήση του αιτήματος και κατάφερε να αποδείξει πολύπλοκα αποτελέσματα χωρίς αυτό.

Όλα αυτά αποτελούσαν πολύ καλό λόγο για να ξεκινήσει η αναζήτηση μιας απόδειξης του αιτήματος. Στην προσπάθεια αυτή οι μαθηματικοί ήταν ελεύθεροι να χρησιμοποιήσουν οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα 4 αιτήματα, τα αξιώματα, αλλά και πάνω από 20 προτάσεις οι οποίες δε χρησιμοποιούσαν την υπό εξέταση δήλωση. Αναρίθμητοι μαθηματικοί δοκίμασαν τις ικανότητές τους στην επινόηση μιας απόδειξης. Δυστυχώς τα χρόνια της απογοήτευσης έγιναν δεκαετίες και κατόπιν αιώνες αποτυχίας.

Η απόδειξη συνέχιζε να διαφεύγει μέχρι την Αναγέννηση και σε όλη τη διάρκειά της. Όποιος αποδείκνυε το αίτημα των παραλλήλων θα εξασφάλιζε αιώνια φήμη στα χρονικά των μαθηματικών.

Ο πρίγκιπας των Μαθηματικών

Τότε, στις αρχές του 19ου αιώνα, τρεις μαθηματικοί είχαν ταυτόχρονα εκείνη την έκλαμψη που ήταν αναγκαία για να δουν το πρόβλημα στις πραγματικές του διαστάσεις. Ο πρώτος ήταν ο ασύγκριτος Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855).

Ο Γκάους αναδιατύπωσε το πρόβλημα με βάση το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. Επιθυμώντας να αποδείξει ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι ίσο με 180 μοίρες, υπέθεσε ότι αυτό δεν ισχύει. Κάνοντας χρήση του γεγονότος ότι οι ευθείες έχουν άπειρο μήκος (υπόθεση την οποία είχε κάνει και ο Ευκλείδης και κανείς ως τότε δεν είχε αμφισβητήσει) διαπίστωσε ότι η υπόθεση το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου να υπερβαίνει τις 180 μοίρες οδηγούσε σε λογική αντίφαση. Έτσι, η περίπτωση αυτή απορριπτόταν.

Αν κατάφερνε με παρόμοιο τρόπο να απαλλαγεί και από τη δεύτερη περίπτωση, θα είχε θεμελιώσει έμμεσα την αναγκαιότητα του αιτήματος των παραλλήλων. Ξεκινώντας όμως από την υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180 μοίρες, ο Γκάους άρχισε να εξάγει συμπεράσματα παράξενα, φαινομενικά αλλόκοτα και αντίθετα στη διαίσθηση.

Ωστόσο δε βρήκε πουθενά τη λογική αντίφαση που αναζητούσε. Βαθμιαία, καθώς προχωρούσε ολοένα και βαθύτερα σε αυτή την παράξενη γεωμετρία άρχισε να αισθάνεται ότι ανέπτυσσε όχι μια μη συνεπή, αλλά μια εναλλακτική γεωμετρία, μια “μη ευκλείδεια” γεωμετρία όπως την αποκάλεσε ο ίδιος σε μια ιδιωτική επιστολή το 1824. Ήταν μια δήλωση που έκοβε την ανάσα. Ο Γκάους όμως, ποτέ δε δημοσιοποίησε αυτά τα ευρήματά του. Ήταν βέβαιος πως η αμφιλεγόμενη φύση της άποψης του θα προκαλούσε θόρυβο που ενδεχομένως να έθετε σε κίνδυνο την υψηλή του φήμη.

Στη συνέχεια ήρθε στο προσκήνιο ο Ούγγρος μαθηματικός Γιάνος Μπόλιαϊ (1802-1860)

Ο πατέρας του, ο Φάρκας Μπόλιαϊ, υπήρξε συνεργάτης του Γκάους και είχε αφιερώσει μεγάλο μέρος της ζωής του σε μια μάταιη προσπάθεια να αποδείξει το αίτημα του Ευκλείδη.

“Σε εκλιπαρώ , άφησε ήσυχη την επιστήμη των παραλλήλων” είχε προειδοποιήσει τον γιό του, όμως  ο νεαρός Γιάνος αγνόησε τη συμβουλή του πατέρα του. Σχεδόν όπως και ο Γκάους έμπαινε ολοένα και βαθύτερα στο πρόβλημα, καταλήγοντας και αυτός στο συμπέρασμα ότι η γεωμετρία του Ευκλείδη είχε έναν λογικά έγκυρο ανταγωνιστή.

“Από το τίποτα δημιούργησα ένα παράξενο σύμπαν” έγραψε με έκπληξη δίπλα στις φαινομενικά συνεπείς προτάσεις του. Ο ίδιος δημοσίευσε τα ευρήματά του το 1832. Ωστόσο, όταν έμαθε ότι η μεγαλύτερή του ανακάλυψη βρισκόταν επί δεκαετίες στο συρτάρι του Γκάους, ο εγωισμός του υπέστη ψυχρολουσία.

Ο εγωισμός του Γιάνος έμελλε να υποστεί ακόμη μια δοκιμασία καθώς σύντομα έγινε γνωστό ότι ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Λομπατσέφσκυ (1793-1856) όχι μόνο είχε διατρέξει την ίδια διαδρομή, αλλά είχε δημοσιεύσει τη δική του θεώρηση της μη ευκλείδειας γεωμετρίας το 1829, δηλαδή τρία χρόνια νωρίτερα.

Ο Λομπατσέφσκυ όμως είχε γράψει την εργασία του στα ρώσικα, με αποτέλεσμα αυτή να περάσει απαρατήρητη στη δυτική Ευρώπη.

Ο αντίκτυπος αυτών των ανακαλύψεων είχε βρει τον στόχο του, όταν ακόμη ένας νεωτεριστής μαθηματικός, ο Μπέρνχαρτ Ρήμαν (1826-1866), υιοθέτησε μια διαφορετική θεώρηση σχετικά με το άπειρο μήκος γεωμετρικών γραμμών.

Όταν ο Ρήμαν επανεξέτασε τη γεωμετρία υποθέτοντας μη φραγμένες αλλά πεπερασμένες γραμμές, η αντίφαση που προέκυπτε από το γεγονός ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ξεπερνούσε τις 180 μοίρες εξαφανίστηκε. Με αυτό τον τρόπο ο Ρήμαν ανέπτυξε ένα άλλο είδος μη ευκλείδειας γεωμετρίας, στο πλαίσιο της οποίας το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου υπερβαίνει τις δύο ορθές. Μολονότι είναι διαφορετική τόσο από τη γεωμετρία του Ευκλείδη, όσο και από τη γεωμετρία των Γκάους και Μπόλιαϊ, η γεωμετρία του Ρήμαν είναι εξίσου συνεπής.

Σήμερα, αναγνωρίζουμε και τους τέσσερις μαθηματικούς ως δημιουργούς της μη ευκλείδειας γεωμετρίας.

Που βρίσκεται όμως ο Ευκλείδης μετά από αυτές τις ανακαλύψεις του 19ου αιώνα; Η γεωμετρία του έπαψε να είναι η μόνη λογικά συνεπής περιγραφή του χώρου. Προς μεγάλη έκπληξη όλων, αποδείχθηκε ότι το αίτημα των παραλλήλων δεν προέκυπτε υποχρεωτικά από τη λογική. Ήταν μια υπόθεση του Ευκλείδη, αλλά δεν υπήρχε καμία μαθηματική αναγκαιότητα για αυτό. Υπήρχαν ανταγωνιστικές εξίσου έγκυρες γεωμετρίες.

Το αποτέλεσμα όμως φαίνεται να είναι η ενίσχυση και όχι ο καταποντισμός της φήμης του Ευκλείδη. Και αυτό, γιατί αντίθετα με πολλούς που ακολούθησαν, ο Ευκλείδης δεν έπεσε στην παγίδα να προσπαθήσει να αποδείξει το αίτημα των παραλλήλων από τις υπόλοιπες αυταπόδεικτες αλήθειες, ένα εγχείρημα που, όπως γνωρίζουμε σήμερα, είναι καταδικασμένο να αποτύχει. Αντίθετα, τοποθέτησε απλώς την υπόθεσή του εκεί όπου άνηκε, στα αιτήματα.

Είκοσι δύο αιώνες αργότερα, οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι ο Ευκλείδης είχε ανέκαθεν δίκιο.

Πηγή: “Τα μεγάλα θεωρήματα των μαθηματικών, William Dunham. Εκδόσεις Αλεξάνδρεια”